domingo, 7 de diciembre de 2008

3.2.2 Distribucion Binomial

De la ecuación:
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La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una molécula rara en particular es de 10%. Supongase que las muestras son independientes con respecto a la presencia de la molécula. Encuéntrese la probabilidad de que las 18 muestras siguientes, exactamente dos contengan la molécula rara

Sea X= el numero de muestras de aire que contienen la molécula rara en las 18 muestras siguientes analizadas. Entonces X es una variable aleatoria binomial con p=0.1 y n=18. Por consiguiente,

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Ahora

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Por tanto
Encuéntrese la probabilidad de que al menos cuatro muestras contengan la molécula rara.

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Pero también se puede utilizar el evento complementario,

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Por otra parte la probabilidad de que 3 menor igual que x menor que 7 osea los valores de 3 hasta 6

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miércoles, 3 de diciembre de 2008

3.2.1 Ensayos de Bernoulli

El ensayo de bernoulli es un experimento aleatorio que tiene solo dos resultados posibles, denotados por éxito y fracaso la probabilidad de un éxito se denota por p. El espacio muestral de un ensayo de bernoulli puede representarse de manera conveniente como {éxito,fracaso}

ejemplo: La posibilidad de recibir de manera errónea un bit transmitido por un canal de transmisión digital es 0.1. Ademas, supongase que los ensayos de transmisión son independientes. Sea X= numero de bits recibidos con error en los próximos cuatro que serán transmitidos.Describase el espacio muestral de este experimento e indiquese el valor de x en cada resultado. calculese P(X=2).
En este experimento se indica con E un bit erróneo, y con un bit sin error, esto es, recibido correctamente. Con esto es espacio muestral de este experimento puede describirse como una lista de 4 letras que indican que bits fueron recibidos con error y sin error.
El espacio muestral es:

el evento en que X=2 esta formado por seis resultados:

{EECC,ECEC,ECCE,CEEC,CECE,CCEE}

Se hace uso de la hipotesis de que los ensayos son independientes, entonces la probabilidad de EECC es:
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En general P(X=x)=(numero de resultados con x errores multiplicados por Photobucket

Para completar una formula general de probabilidad solo es necesario una expresión para el numero de resultados que contienen x errores. Puede construirse un resultado que contiene x errores separando los 4 ensayos en dos grupos. El tamaño de uno de los grupos es x y contiene los errores, mientras que el tamaño del otro grupo es n-x y esta formado por los ensayos donde no hay errores, el numero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los cuales tiene tamaño x es:

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todo esto se obtiene mediante la ecuación:

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jueves, 6 de noviembre de 2008

Ejercicios 3.1, 3.3, 3.5, 3.13, 3.19, 3.26, 3.30, 3.34, 3.38

Ejercicios:

En cada uno de los siguientes ejercicios determine el rango(valores posibles) de la variable aleatoria.

3.1-La variable aleatoria es el numero de conexiones soldadas, de las 1000 que tiene un circuito impreso, que no cumplen con ciertos estándares de calidad.

X={0,1,2,3,4...............1000}

3.2-Se utiliza un instrumento electrónico para medir pesos de empaques, hasta la libra mas sercana, el instrumento de medición solo tiene 5 dígitos cualquier peso mayor puede mostrarse como 99999. La variable aleatoria es el peso que aparese en el instrumento.

X={0,1,2,3,4,......,9999}

3.5-Un lote de 500 partes maquinadas contiene 10 que no se ajustan a los requerimientos del cliente. Del lote se van tomando partes, sin remplazo, hasta que se optiene una que no forma parte de los requerimientos. La variable aleatoria es el numero de partes seleccionadas.

X={1,2,3,4,.........,491}

3.13- Un grupo de partes moldeadas se clasifica de acuerdo con su longitud, de la siguiente manera:
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3.19-
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Para x=1
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Para x=2
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Para x=3
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Encontrar:
A)
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B)
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3.26- Continuación del ejercicios 3-13, Determine la función de distribución acumulada para la variable aleatoria del ejercicio 3-13

lunes, 3 de noviembre de 2008

3.2 Distribuciones de probabilidad discretas

Una variable aleatoria discreta es una variable aleatoria con un rango finito (o infinito contable)

3.1 Variables aleatorias y su clasificacion

La variable que asocia un numero con el resultado de un experimento aleatorio se le denomina como variable aleatoria.

En otras palabras:
"Una variable aleatoria es una función que asigna un numero real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio."

La variable aleatoria se denota tal como la letra mayúscula X y con una letra minúscula como x, el valor posible de X. El conjunto de los posibles valores de la variable aleatoria X recibe el nombre de rango de X.

Por ejemplo:El sistema de comunicación por voz de una empresa tiene 48 lineas externas. En un determinado momento, se observa el sistema y algunas lineas están ocupadas. Sea X la variable aleatoria que denota el numero de lineas en uso . Entonces X puede tomar cualquier valor entero de cero a 48

Notese que sobre un espacio muestral puede definirse mas de una variable aleatoria.

3 Funciones de distribucion de probabilidades

La distribución de probabilidad o distribución de una variable aleatoria X es una descripción del conjunto de valores posibles de X (rango de X), junto con la probabilidad asociada con cada uno de estos valores. A menudo la distribución de probabilidad de una variable es el resumen mas útil de un experimento aleatorio. La distribución de probabilidad de una variable aleatoria es el resumen mas útil de un experimento aleatorio.

Esto claro haciendo cita del libro de "Probabilidad y Estadística aplicadas a la Ingeniería" de Douglas C. Mongomery, notese que de este libro me basare para el desarrollo y la publicación de esta unidad.

Bueno con esto entramos a la unidad 3 de esta materia, donde comenzaremos a analizar funciones y cuales son las relaciones entre dos conjuntos cuando hablamos de probabilidad.

lunes, 27 de octubre de 2008

Temario Unidad 3

3 Funciones de distribucion de probabilidades
3.1 Variables aleatorias y su clasificacion
3.2 Distribuciones de probabilidad discretas
3.2.1 Ensayos de Bernoulli
3.2.2 Distribucion Binomial
3.2.2.1 Propiedades
3.2.2.2 Aplicaciones
3.2.3 Distribucion Hipergeometrica
3.2.3.1 Propiedades
3.2.3.2 Aplicaciones
3.2.4 Distribucion de Poisson
3.2.4.1 Propiedades
3.2.4.2 Aplicaciones
3.3 Esperanza matematica
3.3.1 Valor esperado
3.4 Distribuciones de probabilidad continuas
3.4.1 Distribucion Normal
3.4.2 Propiedades
3.4.3 Uso de tablas y graficas
3.4.4 Aproximacion de la normal a la binomial
3.5 Distribucion t
3.5.1 Propiedades
3.5.2 Aplicaciones
3.6 Distribucion Chi cuadrada
3.6.1 Propiedades
3.6.2 Aplicaciones
3.7 Distribucion F
3.7.1 Propiedades
3.7.2 Aplicaciones

2.5 Teorema de Bayes

Si E1, E2, ......, Ek son eventos exahutivos y mutuamente excluyentes, y B es cualquier evento entonces se entiende el teorema de bayer por la siguiente formula:

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ejemplo:

Debido a que un nuevo procedimiento medico ha demostrado su eficacia en la detección temprana de cierta enfermedad, se propone realizar un examen medico preventivo a la población. La probabilidad de que la prueba sea positiva e identifique de manera correcta a una persona que tiene la enfermedad es de 0.99, mientras que la probabilidad de que la prueba sea negativa e identifique correctamente a un paciente que no tiene la enfermedad, es 0.95.
La incidencia de la enfermedad en la población es de 0.0001. Alguien toma la prueba y esta resulta positiva ¿Cual es la probabilidad de que esa persona tenga la enfermedad.

Sean D el evento en el que la persona tiene la enfermedad y S en que la prueba es positiva. La probabilidad pedida es entonces P(D/S). La probabilidad de que la prueba sea negativa y detecte de manera positiva a una persona que no tiene la enfermedad es de 0.95. En consecuencia la probabilidad de la prueba sea positiva sin que la persona esté enferma es de:

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Las posibilidades de que la persona tenga la enfermedad es muy pequeña, incluso si la prueba es positiva.

2.4 Independencia y probabilidad condicional

Ahora veremos la probabilidad condicional.
Veamos un problema en donde hay una probabilidad condicional:

En un proceso de manufactura el 10% de las partes contienen fallas visibles en la superficie, mientras que otro el 25% con fallas en la superficie son funcionalmente defectuosas. Sin embargo, solo el 5% de las partes sin fallas en la superficie son funcionalmente defectuosas. La probabilidad de una parte funcionalmente defectuosa depende del conocimiento del conocimiento que se tenga sobre la presencia o ausencia de fallas en la superficie. Si una parte una parte tiene una falla en la superficie, entonces la probabilidad de que sea defectuosa es 0.25. Si una parte no tiene fallas en la superficie, la probabilidad de que sea defectuosa es 0.05.

Esta notación se lee como la probabilidad condicional de A dado B, y se interpreta como la probabilidad de que una parte sea funcionalmente defectuosa, dado que tiene una falla en la superficie. Ya que el 25% de las partes con fallas en la superficie son funcionalmente defectuosas, la conclusión que puede obtenerse de este echo es que P(A|B)=0.25. Por otra parte debido que B' denota el evento donde una parte no tiene fallas en la superficie y ya que el 5%de las partes sin defectos en la superficie son funcionalmente defectuosas, se que tiene que P(A|B')=0.05. Estos resultados aparecen de manera gráfica en la figura 2-16.
En algunos modelos, P(A|B) puede calcularse mediante la interpretación de la definición de probabilidad condicional.

Defnicion de Probabilidad condicional.

La probabilidad condicional de un evento A dado un evento B, denotada por A(A|B), es:

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Esta definicion puede comprenderse al considerar el caso especial en que todos los resultados de un experimento aleatorio son igualmente probables. Si existe un total de n resultado, entonces.

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por otra parte

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En concecuencia,
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Por consiguiente, P(A|B) puede interpretarse como la frecuencia relativa del evento A con respecto al numero de ensayos que producen un resultado en el evento B.

Solo es cueston de interpretacion y de seguir la formula.

lunes, 20 de octubre de 2008

2.3 Axiomas de probabilidad

Ahora se ha definido la probabilidad de un evento, es posible reunir las hipotesis realizadas hasta el momento con respecto a las probabilidades en un conjunto de axiomas que deben satisfaser las probabilidades de cualquier experimento aleatorio. Los axiomas aseguran que las probabilidades asignadas en un experimento pueden interpretarse como frecuencias relativas, y que son consistentes con el conocimiento intuitivo de las relaciones entre frecuencias relativas,

Bueno este consepto es dificil de entender, pero si lo analizamos con mas cuidado encontramos que:

La Probabilidad de un numero que se asigna a cada miembro de una coleccion de eventos de un experimento aleatorio y que satisfase las siguientes propiedades.
Si S es el espacio muestral y E es cualquier evento por deciro asi de un experimento aleatorio,
1)P(S)=1

2)Photobucket

3)Para dos eventos E1 y E2 con

2.2.7 Principio multiplicativo

La regla para multiplicar es:
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Por ejemplo la probabilidad de que una bateria de un automovil sujeta a altas temperaturas dentro del compartimiento del motor reciba una corriente de carga mayor que la normal, es 0.7 . La probabilidad de que la bateria quede expuesta a altas temperaturas es 0.05.
Sea A el evento en donde la bateria experimenta una corriente de carga mayor que la normal, y B el evento en que la bateria esta expuesta a altas temperaturas. La probabilidad de que la bateria experimente tanto una corriente de carga alta como una temperatura alta es:

Segun nuestra relga para multiplicar:

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Solo es cuestion de visualizacion y de seguir la formula.

Regla de probabilidad total para dos eventos:
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Y asi mismo la regla de la probabilidad total para varios eventos
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No es necesario ver mas ejemplos como lo eh dicho solo es cuestión de visualización y de sustituir los datos siguiendo la formula.

domingo, 19 de octubre de 2008

2.2.6 Principio aditivo

Los eventos compuestos se generan al aplicar las operaciones básicas de los conjuntos a los eventos individuales. Las uniones de eventos, las intersecciones de eventos y los complementos de eventos son de interés frecuente. La probabilidad de un evento compuesto puede obtenerse a partir de las probabilidades de cada uno de los eventos que lo forman. Y a esto se le conoce como reglas de adicción.

por ejemplo:
Se presenta la historia de 940 obleas de un proceso de fabricación de semiconductores. Supóngase que se elige al azar una oblea de la tabla, sea A el evento en que la oblea tiene altos niveles de contaminación. Entonces,

y se presenta de esta manera:

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entonces:
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Y sea B el evento en que la oblea esta en el centro de un instrumento de deposición electrónica.
Entonces
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Por otra parte la probabilidad de A intersección B es la probabilidad de que la oblea esté en el centro del instrumento de deposición electrónica y al mismo tiempo contenga altos niveles de contaminación

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Otra forma de calcular la probabilidad entre la unión de A y B es que las 246 obleas que comprenden el evento entre las intersecciones de las mimas están incluidas en el calculo de la probabilidad de A y una vez mas en el de la probabilidad de B.
Por lo tanto:
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sea E el evento donde la oblea no esta en el centro del instrumento de deposición electrónica y tampoco contiene altos niveles de contaminación.
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Para determinar algunas operaciones entre conjuntos, puede emplearse como alternativa otro calculo para determinar P(E). Se tiene que
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por lo tanto:
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2.2.5 Diagramas de árbol

Los espacios muestrales pueden describirse gráficamente en términos de un diagrama de árbol. Un diagrama de arbol puede construirse en varios pasos o etapas, entonces cada una de las maneras de completar el primer paso puede representarse como una rama del árbol. Cada una de las maneras de completar el segundo paso puede representarse con el numero de ramas que comienzan donde terminan las ramas originales y así sucesivamente dependiendo de que tan grande sea el espacio muestral.

por ejemplo:

En un sistema de comunicación digital cada mensaje se clasifica segun llega o no dentro del tiempo establecido por el diseño del sistema. Si se clasifican tres mensajes, utilice un diagrama de arbol para denotarlo y representar los resultados.

nuestro diagrama de arbol queda asi:
Photobucket.

Entonces se dice que tenemos 8 posibles combinaciones multiplicando nuestras ramas
tenemos 2x2x2=8
entonces tenemos 8 posibles combinaciones diferentes.

Ahora veamos uno mas complejo:

El fabricante de un automóvil proporciona vehículos equipados con distintas opcciones que el cliente selecciona. Cada vehículo se solicita

Con o sin transmisión automática
Con o sin aire acondicionado
Con una de tres opciones posibles en cuanto a un sistema de sonido estereo
Con uno de cuatro colores exteriores

nuestro diagrama de árbol queda así:

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Si multiplicamos nuestras ramas
tenemos 2x2x3x4= 48
entonces tenemos 48 vehículos diferentes.

2.2.4 Permutaciones y combinaciones

Con frecuencia es útil cuantificar la posibilidad de que se presente un resultado de un experimento aleatorio. "La posibilidad de que llueva hoy es de 30%" esto es una afirmación que refleja una creencia sobre la posibilidad de que llueva. La posibilidad de un resultado se cuantifica asignándoles un numero del intervalo [0,1], o un porcentaje del 0 al 100%.
Esto quiere decir que entre mas grande sea el numero, mayor es el posibilidad del resultado, un cero indica que el resultado no se presntara y un uno indica que el resultado es seguro ..

Aunque todo esto tiene que ver mas con la logica claro. Y cada vez que un espacio muestral este formado por N posibles resultados igualmente probables, la probabilidad de cada uno de ellos sera 1 sobre N (1/N).

Para un espacio muestral discreto, la probabilidad de un evento E, denota como P(E), es igual a la suma de las probabilidades de los resultados en E.

Veamos un ejemplo de esto que acabo de explicar:

Los resultados posibles de un experimento aleatorio son {a,b,c,d} con probabilidad de 0.1, 0.3, 0.5 y 0.1, respectivamente. Sean el evento A: el evento {a,b} y el evento B {b,c,d} y el C {d}.
Entonces
P(A)=0.1 + 0.3=0.4
P(B)= 0.3+0.5+0.1=0.9
P(C)=o.1

asimismo
Photobucket

y
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Por otra parte dado que:
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y
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Ya que
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entonces:
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como Photobucket es e conjunto vació.

entonces:
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sábado, 18 de octubre de 2008

2.2.3 Probabilidad mediante conjuntos

En esta entrada veremos como organizar de una forma mas gráfica nuestros conjuntos de datos entre los mas comunes vistos en clase como el diagrama de Venn.

Los diagramas se utilizan con frecuencia para representar relaciones entre conjuntos, y también son muy útiles para describir relaciones entre eventos. Los diagramas de venn pueden emplearse para representar un espacio muestral y los eventos contenidos en este.

por ejemplo:

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aquí el espacio muestral esta representado por lo que esta dentro del rectángulo que vendrían siendo los círculos E1 y E2

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En este ejemplo se muestran un par de eventos que no tienen resultados en comun.

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aqui tenemos una interseccion Photobucket


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Aqui tenemos una interseccion entre A, B y C

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y aqui una interseccion entre A y el complemento de C

Bueno estos son unos ejemplos de como se puede usar este diagrame ahora veamos un problema real:

Se analizan muestras de policarbonato plastico para determinar su resistencia a las rayaduras y a los golpes. A continuacion se presneta en resumen los resultados obtenidos con 49 muestras.


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Sea A el evento: "La muestra tiene una alta resistencia a los golpes", y B el evento "La muestra tiene una alta resistencia a las rayaduras". Determine el numero de muestras en A unión B, A complemento y A intersección B


El evento Photobucket esta formado por 40 muestras para las que las resistencias a los golpes y las rayaduras son altas. El evento A' contine siete muestras para las que la resistencia a los golpes es baja. El evento AUB esta formado por 46 muestras en que la resistencia a las rayaduras o golpes o incluso ambos es alta.

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aqui se muestra el diagrama de venn de ese problema, no es tan dificil realizar el problema con este digrama.