3 Funciones de distribucion de probabilidades
3.1 Variables aleatorias y su clasificacion
3.2 Distribuciones de probabilidad discretas
3.2.1 Ensayos de Bernoulli
3.2.2 Distribucion Binomial
3.2.2.1 Propiedades
3.2.2.2 Aplicaciones
3.2.3 Distribucion Hipergeometrica
3.2.3.1 Propiedades
3.2.3.2 Aplicaciones
3.2.4 Distribucion de Poisson
3.2.4.1 Propiedades
3.2.4.2 Aplicaciones
3.3 Esperanza matematica
3.3.1 Valor esperado
3.4 Distribuciones de probabilidad continuas
3.4.1 Distribucion Normal
3.4.2 Propiedades
3.4.3 Uso de tablas y graficas
3.4.4 Aproximacion de la normal a la binomial
3.5 Distribucion t
3.5.1 Propiedades
3.5.2 Aplicaciones
3.6 Distribucion Chi cuadrada
3.6.1 Propiedades
3.6.2 Aplicaciones
3.7 Distribucion F
3.7.1 Propiedades
3.7.2 Aplicaciones
lunes, 27 de octubre de 2008
2.5 Teorema de Bayes
Si E1, E2, ......, Ek son eventos exahutivos y mutuamente excluyentes, y B es cualquier evento entonces se entiende el teorema de bayer por la siguiente formula:
ejemplo:
Debido a que un nuevo procedimiento medico ha demostrado su eficacia en la detección temprana de cierta enfermedad, se propone realizar un examen medico preventivo a la población. La probabilidad de que la prueba sea positiva e identifique de manera correcta a una persona que tiene la enfermedad es de 0.99, mientras que la probabilidad de que la prueba sea negativa e identifique correctamente a un paciente que no tiene la enfermedad, es 0.95.
La incidencia de la enfermedad en la población es de 0.0001. Alguien toma la prueba y esta resulta positiva ¿Cual es la probabilidad de que esa persona tenga la enfermedad.
Sean D el evento en el que la persona tiene la enfermedad y S en que la prueba es positiva. La probabilidad pedida es entonces P(D/S). La probabilidad de que la prueba sea negativa y detecte de manera positiva a una persona que no tiene la enfermedad es de 0.95. En consecuencia la probabilidad de la prueba sea positiva sin que la persona esté enferma es de:
Las posibilidades de que la persona tenga la enfermedad es muy pequeña, incluso si la prueba es positiva.
Debido a que un nuevo procedimiento medico ha demostrado su eficacia en la detección temprana de cierta enfermedad, se propone realizar un examen medico preventivo a la población. La probabilidad de que la prueba sea positiva e identifique de manera correcta a una persona que tiene la enfermedad es de 0.99, mientras que la probabilidad de que la prueba sea negativa e identifique correctamente a un paciente que no tiene la enfermedad, es 0.95.
La incidencia de la enfermedad en la población es de 0.0001. Alguien toma la prueba y esta resulta positiva ¿Cual es la probabilidad de que esa persona tenga la enfermedad.
Sean D el evento en el que la persona tiene la enfermedad y S en que la prueba es positiva. La probabilidad pedida es entonces P(D/S). La probabilidad de que la prueba sea negativa y detecte de manera positiva a una persona que no tiene la enfermedad es de 0.95. En consecuencia la probabilidad de la prueba sea positiva sin que la persona esté enferma es de:
Las posibilidades de que la persona tenga la enfermedad es muy pequeña, incluso si la prueba es positiva.
2.4 Independencia y probabilidad condicional
Ahora veremos la probabilidad condicional.
Veamos un problema en donde hay una probabilidad condicional:
En un proceso de manufactura el 10% de las partes contienen fallas visibles en la superficie, mientras que otro el 25% con fallas en la superficie son funcionalmente defectuosas. Sin embargo, solo el 5% de las partes sin fallas en la superficie son funcionalmente defectuosas. La probabilidad de una parte funcionalmente defectuosa depende del conocimiento del conocimiento que se tenga sobre la presencia o ausencia de fallas en la superficie. Si una parte una parte tiene una falla en la superficie, entonces la probabilidad de que sea defectuosa es 0.25. Si una parte no tiene fallas en la superficie, la probabilidad de que sea defectuosa es 0.05.
Esta notación se lee como la probabilidad condicional de A dado B, y se interpreta como la probabilidad de que una parte sea funcionalmente defectuosa, dado que tiene una falla en la superficie. Ya que el 25% de las partes con fallas en la superficie son funcionalmente defectuosas, la conclusión que puede obtenerse de este echo es que P(A|B)=0.25. Por otra parte debido que B' denota el evento donde una parte no tiene fallas en la superficie y ya que el 5%de las partes sin defectos en la superficie son funcionalmente defectuosas, se que tiene que P(A|B')=0.05. Estos resultados aparecen de manera gráfica en la figura 2-16.
En algunos modelos, P(A|B) puede calcularse mediante la interpretación de la definición de probabilidad condicional.
Veamos un problema en donde hay una probabilidad condicional:
En un proceso de manufactura el 10% de las partes contienen fallas visibles en la superficie, mientras que otro el 25% con fallas en la superficie son funcionalmente defectuosas. Sin embargo, solo el 5% de las partes sin fallas en la superficie son funcionalmente defectuosas. La probabilidad de una parte funcionalmente defectuosa depende del conocimiento del conocimiento que se tenga sobre la presencia o ausencia de fallas en la superficie. Si una parte una parte tiene una falla en la superficie, entonces la probabilidad de que sea defectuosa es 0.25. Si una parte no tiene fallas en la superficie, la probabilidad de que sea defectuosa es 0.05.
Esta notación se lee como la probabilidad condicional de A dado B, y se interpreta como la probabilidad de que una parte sea funcionalmente defectuosa, dado que tiene una falla en la superficie. Ya que el 25% de las partes con fallas en la superficie son funcionalmente defectuosas, la conclusión que puede obtenerse de este echo es que P(A|B)=0.25. Por otra parte debido que B' denota el evento donde una parte no tiene fallas en la superficie y ya que el 5%de las partes sin defectos en la superficie son funcionalmente defectuosas, se que tiene que P(A|B')=0.05. Estos resultados aparecen de manera gráfica en la figura 2-16.
En algunos modelos, P(A|B) puede calcularse mediante la interpretación de la definición de probabilidad condicional.
Defnicion de Probabilidad condicional.
La probabilidad condicional de un evento A dado un evento B, denotada por A(A|B), es:
Esta definicion puede comprenderse al considerar el caso especial en que todos los resultados de un experimento aleatorio son igualmente probables. Si existe un total de n resultado, entonces.
por otra parte
En concecuencia,
Por consiguiente, P(A|B) puede interpretarse como la frecuencia relativa del evento A con respecto al numero de ensayos que producen un resultado en el evento B.
por otra parte
En concecuencia,
Por consiguiente, P(A|B) puede interpretarse como la frecuencia relativa del evento A con respecto al numero de ensayos que producen un resultado en el evento B.
Solo es cueston de interpretacion y de seguir la formula.
lunes, 20 de octubre de 2008
2.3 Axiomas de probabilidad
Ahora se ha definido la probabilidad de un evento, es posible reunir las hipotesis realizadas hasta el momento con respecto a las probabilidades en un conjunto de axiomas que deben satisfaser las probabilidades de cualquier experimento aleatorio. Los axiomas aseguran que las probabilidades asignadas en un experimento pueden interpretarse como frecuencias relativas, y que son consistentes con el conocimiento intuitivo de las relaciones entre frecuencias relativas,
Bueno este consepto es dificil de entender, pero si lo analizamos con mas cuidado encontramos que:
La Probabilidad de un numero que se asigna a cada miembro de una coleccion de eventos de un experimento aleatorio y que satisfase las siguientes propiedades.
Si S es el espacio muestral y E es cualquier evento por deciro asi de un experimento aleatorio,
1)P(S)=1
2)
3)Para dos eventos E1 y E2 con
Bueno este consepto es dificil de entender, pero si lo analizamos con mas cuidado encontramos que:
La Probabilidad de un numero que se asigna a cada miembro de una coleccion de eventos de un experimento aleatorio y que satisfase las siguientes propiedades.
Si S es el espacio muestral y E es cualquier evento por deciro asi de un experimento aleatorio,
1)P(S)=1
2)
3)Para dos eventos E1 y E2 con
2.2.7 Principio multiplicativo
La regla para multiplicar es:
Por ejemplo la probabilidad de que una bateria de un automovil sujeta a altas temperaturas dentro del compartimiento del motor reciba una corriente de carga mayor que la normal, es 0.7 . La probabilidad de que la bateria quede expuesta a altas temperaturas es 0.05.
Sea A el evento en donde la bateria experimenta una corriente de carga mayor que la normal, y B el evento en que la bateria esta expuesta a altas temperaturas. La probabilidad de que la bateria experimente tanto una corriente de carga alta como una temperatura alta es:
Segun nuestra relga para multiplicar:
Solo es cuestion de visualizacion y de seguir la formula.
Regla de probabilidad total para dos eventos:
Y asi mismo la regla de la probabilidad total para varios eventos
No es necesario ver mas ejemplos como lo eh dicho solo es cuestión de visualización y de sustituir los datos siguiendo la formula.
Sea A el evento en donde la bateria experimenta una corriente de carga mayor que la normal, y B el evento en que la bateria esta expuesta a altas temperaturas. La probabilidad de que la bateria experimente tanto una corriente de carga alta como una temperatura alta es:
Segun nuestra relga para multiplicar:
Solo es cuestion de visualizacion y de seguir la formula.
Regla de probabilidad total para dos eventos:
Y asi mismo la regla de la probabilidad total para varios eventos
No es necesario ver mas ejemplos como lo eh dicho solo es cuestión de visualización y de sustituir los datos siguiendo la formula.
domingo, 19 de octubre de 2008
2.2.6 Principio aditivo
Los eventos compuestos se generan al aplicar las operaciones básicas de los conjuntos a los eventos individuales. Las uniones de eventos, las intersecciones de eventos y los complementos de eventos son de interés frecuente. La probabilidad de un evento compuesto puede obtenerse a partir de las probabilidades de cada uno de los eventos que lo forman. Y a esto se le conoce como reglas de adicción.
por ejemplo:
Se presenta la historia de 940 obleas de un proceso de fabricación de semiconductores. Supóngase que se elige al azar una oblea de la tabla, sea A el evento en que la oblea tiene altos niveles de contaminación. Entonces,
y se presenta de esta manera:
entonces:
Y sea B el evento en que la oblea esta en el centro de un instrumento de deposición electrónica.
por ejemplo:
Se presenta la historia de 940 obleas de un proceso de fabricación de semiconductores. Supóngase que se elige al azar una oblea de la tabla, sea A el evento en que la oblea tiene altos niveles de contaminación. Entonces,
y se presenta de esta manera:
entonces:
Y sea B el evento en que la oblea esta en el centro de un instrumento de deposición electrónica.
Entonces
Por otra parte la probabilidad de A intersección B es la probabilidad de que la oblea esté en el centro del instrumento de deposición electrónica y al mismo tiempo contenga altos niveles de contaminación
Otra forma de calcular la probabilidad entre la unión de A y B es que las 246 obleas que comprenden el evento entre las intersecciones de las mimas están incluidas en el calculo de la probabilidad de A y una vez mas en el de la probabilidad de B.
Por lo tanto:
sea E el evento donde la oblea no esta en el centro del instrumento de deposición electrónica y tampoco contiene altos niveles de contaminación.
Para determinar algunas operaciones entre conjuntos, puede emplearse como alternativa otro calculo para determinar P(E). Se tiene que
por lo tanto:
Otra forma de calcular la probabilidad entre la unión de A y B es que las 246 obleas que comprenden el evento entre las intersecciones de las mimas están incluidas en el calculo de la probabilidad de A y una vez mas en el de la probabilidad de B.
Por lo tanto:
sea E el evento donde la oblea no esta en el centro del instrumento de deposición electrónica y tampoco contiene altos niveles de contaminación.
Para determinar algunas operaciones entre conjuntos, puede emplearse como alternativa otro calculo para determinar P(E). Se tiene que
por lo tanto:
2.2.5 Diagramas de árbol
Los espacios muestrales pueden describirse gráficamente en términos de un diagrama de árbol. Un diagrama de arbol puede construirse en varios pasos o etapas, entonces cada una de las maneras de completar el primer paso puede representarse como una rama del árbol. Cada una de las maneras de completar el segundo paso puede representarse con el numero de ramas que comienzan donde terminan las ramas originales y así sucesivamente dependiendo de que tan grande sea el espacio muestral.
por ejemplo:
En un sistema de comunicación digital cada mensaje se clasifica segun llega o no dentro del tiempo establecido por el diseño del sistema. Si se clasifican tres mensajes, utilice un diagrama de arbol para denotarlo y representar los resultados.
nuestro diagrama de arbol queda asi:
.
Entonces se dice que tenemos 8 posibles combinaciones multiplicando nuestras ramas
tenemos 2x2x2=8
entonces tenemos 8 posibles combinaciones diferentes.
Ahora veamos uno mas complejo:
El fabricante de un automóvil proporciona vehículos equipados con distintas opcciones que el cliente selecciona. Cada vehículo se solicita
Con o sin transmisión automática
Con o sin aire acondicionado
Con una de tres opciones posibles en cuanto a un sistema de sonido estereo
Con uno de cuatro colores exteriores
nuestro diagrama de árbol queda así:
Si multiplicamos nuestras ramas
tenemos 2x2x3x4= 48
entonces tenemos 48 vehículos diferentes.
por ejemplo:
En un sistema de comunicación digital cada mensaje se clasifica segun llega o no dentro del tiempo establecido por el diseño del sistema. Si se clasifican tres mensajes, utilice un diagrama de arbol para denotarlo y representar los resultados.
nuestro diagrama de arbol queda asi:
.Entonces se dice que tenemos 8 posibles combinaciones multiplicando nuestras ramas
tenemos 2x2x2=8
entonces tenemos 8 posibles combinaciones diferentes.
Ahora veamos uno mas complejo:
El fabricante de un automóvil proporciona vehículos equipados con distintas opcciones que el cliente selecciona. Cada vehículo se solicita
Con o sin transmisión automática
Con o sin aire acondicionado
Con una de tres opciones posibles en cuanto a un sistema de sonido estereo
Con uno de cuatro colores exteriores
nuestro diagrama de árbol queda así:
Si multiplicamos nuestras ramas
tenemos 2x2x3x4= 48
entonces tenemos 48 vehículos diferentes.
2.2.4 Permutaciones y combinaciones
Con frecuencia es útil cuantificar la posibilidad de que se presente un resultado de un experimento aleatorio. "La posibilidad de que llueva hoy es de 30%" esto es una afirmación que refleja una creencia sobre la posibilidad de que llueva. La posibilidad de un resultado se cuantifica asignándoles un numero del intervalo [0,1], o un porcentaje del 0 al 100%.
Esto quiere decir que entre mas grande sea el numero, mayor es el posibilidad del resultado, un cero indica que el resultado no se presntara y un uno indica que el resultado es seguro ..
Aunque todo esto tiene que ver mas con la logica claro. Y cada vez que un espacio muestral este formado por N posibles resultados igualmente probables, la probabilidad de cada uno de ellos sera 1 sobre N (1/N).
Para un espacio muestral discreto, la probabilidad de un evento E, denota como P(E), es igual a la suma de las probabilidades de los resultados en E.
Veamos un ejemplo de esto que acabo de explicar:
Los resultados posibles de un experimento aleatorio son {a,b,c,d} con probabilidad de 0.1, 0.3, 0.5 y 0.1, respectivamente. Sean el evento A: el evento {a,b} y el evento B {b,c,d} y el C {d}.
Por otra parte dado que:
y
Ya que
entonces:
como
es e conjunto vació.
entonces:
Esto quiere decir que entre mas grande sea el numero, mayor es el posibilidad del resultado, un cero indica que el resultado no se presntara y un uno indica que el resultado es seguro ..
Aunque todo esto tiene que ver mas con la logica claro. Y cada vez que un espacio muestral este formado por N posibles resultados igualmente probables, la probabilidad de cada uno de ellos sera 1 sobre N (1/N).
Para un espacio muestral discreto, la probabilidad de un evento E, denota como P(E), es igual a la suma de las probabilidades de los resultados en E.
Veamos un ejemplo de esto que acabo de explicar:
Los resultados posibles de un experimento aleatorio son {a,b,c,d} con probabilidad de 0.1, 0.3, 0.5 y 0.1, respectivamente. Sean el evento A: el evento {a,b} y el evento B {b,c,d} y el C {d}.
Entonces
P(A)=0.1 + 0.3=0.4
P(B)= 0.3+0.5+0.1=0.9
P(C)=o.1
asimismo
y
P(A)=0.1 + 0.3=0.4
P(B)= 0.3+0.5+0.1=0.9
P(C)=o.1
asimismo
y
Por otra parte dado que:
y
Ya que
entonces:
como
es e conjunto vació.entonces:
sábado, 18 de octubre de 2008
2.2.3 Probabilidad mediante conjuntos
En esta entrada veremos como organizar de una forma mas gráfica nuestros conjuntos de datos entre los mas comunes vistos en clase como el diagrama de Venn.
Los diagramas se utilizan con frecuencia para representar relaciones entre conjuntos, y también son muy útiles para describir relaciones entre eventos. Los diagramas de venn pueden emplearse para representar un espacio muestral y los eventos contenidos en este.
por ejemplo:
aquí el espacio muestral esta representado por lo que esta dentro del rectángulo que vendrían siendo los círculos E1 y E2
En este ejemplo se muestran un par de eventos que no tienen resultados en comun.
aqui tenemos una interseccion
Aqui tenemos una interseccion entre A, B y C
y aqui una interseccion entre A y el complemento de C
El evento 
esta formado por 40 muestras para las que las resistencias a los golpes y las rayaduras son altas. El evento A' contine siete muestras para las que la resistencia a los golpes es baja. El evento AUB esta formado por 46 muestras en que la resistencia a las rayaduras o golpes o incluso ambos es alta.
aqui se muestra el diagrama de venn de ese problema, no es tan dificil realizar el problema con este digrama.
Los diagramas se utilizan con frecuencia para representar relaciones entre conjuntos, y también son muy útiles para describir relaciones entre eventos. Los diagramas de venn pueden emplearse para representar un espacio muestral y los eventos contenidos en este.
por ejemplo:
aquí el espacio muestral esta representado por lo que esta dentro del rectángulo que vendrían siendo los círculos E1 y E2
En este ejemplo se muestran un par de eventos que no tienen resultados en comun.
aqui tenemos una interseccion
Aqui tenemos una interseccion entre A, B y C
y aqui una interseccion entre A y el complemento de C
Bueno estos son unos ejemplos de como se puede usar este diagrame ahora veamos un problema real:
Se analizan muestras de policarbonato plastico para determinar su resistencia a las rayaduras y a los golpes. A continuacion se presneta en resumen los resultados obtenidos con 49 muestras.
Se analizan muestras de policarbonato plastico para determinar su resistencia a las rayaduras y a los golpes. A continuacion se presneta en resumen los resultados obtenidos con 49 muestras.
Sea A el evento: "La muestra tiene una alta resistencia a los golpes", y B el evento "La muestra tiene una alta resistencia a las rayaduras". Determine el numero de muestras en A unión B, A complemento y A intersección B
esta formado por 40 muestras para las que las resistencias a los golpes y las rayaduras son altas. El evento A' contine siete muestras para las que la resistencia a los golpes es baja. El evento AUB esta formado por 46 muestras en que la resistencia a las rayaduras o golpes o incluso ambos es alta.
aqui se muestra el diagrama de venn de ese problema, no es tan dificil realizar el problema con este digrama.
lunes, 13 de octubre de 2008
2.2.2 Ocurrencia de eventos
Y a continuación se proporcionan unas operaciones básicas de conjuntos en términos de eventos:
La unión de dos eventos es el evento que esta formado por todos los resultados contenidos en cualquiera de los eventos. La unión se denota por :
.
La intersección de dos eventos es el evento que esta formado por los resultados contenidos en ambos eventos. La intersección se denota por:
El complemento de un evento en un espacio muestral es el conjunto de resultados en el espacio muestral que no están en el evento. Este componente del evento E se denota como E'
Por ejemplo:
En uno de los ejemplos anteriores vimos uno en donde el espacio muestral era negado aprobado, aprobado negado etc .. tomaremos ese ejemplo para realizar esto:
en el espacio muestral anterior:
si
y
entonces
y
Todo esto es cuestion de visualizacion, ahora los complementos:
y
La unión de dos eventos es el evento que esta formado por todos los resultados contenidos en cualquiera de los eventos. La unión se denota por :
.La intersección de dos eventos es el evento que esta formado por los resultados contenidos en ambos eventos. La intersección se denota por:
El complemento de un evento en un espacio muestral es el conjunto de resultados en el espacio muestral que no están en el evento. Este componente del evento E se denota como E'
Por ejemplo:
En uno de los ejemplos anteriores vimos uno en donde el espacio muestral era negado aprobado, aprobado negado etc .. tomaremos ese ejemplo para realizar esto:
en el espacio muestral anterior:
si
y
entonces
y
Todo esto es cuestion de visualizacion, ahora los complementos:
y
Ahora veamos un ejemplo mas complejo..
Las mediciones del tiempo necesario para completar una reaccion de quimica pueden modelarse utilizando el espacio muestral s={1,2,3......n}.
Las mediciones del tiempo necesario para completar una reaccion de quimica pueden modelarse utilizando el espacio muestral s={1,2,3......n}.
sea
y
Entonces:
y
y por otra parte los complementos:
y
y
Entonces:
y
y por otra parte los complementos:
y
Todo esto no es tan complicado como parece es solo cuestión de poner atención en nuestro espacio muestral y nuestros eventos, puede ser confuso al principio pero con la practica lo aremos mas rápido.
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